Question

16．已知向量$\overrightarrow m=（1\;，\;\;1）$，向量$\overrightarrow n$與向量$\overrightarrow m$夾角為$\frac{3}{4}π$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$．
（1）求向量$\overrightarrow n$；
（2）若向量$\overrightarrow n$與向量$\overrightarrow q=（1\;，\;\;0）$的夾角為$\frac{π}{2}$，向量$\overrightarrow p=（cosA\;，\;\;2{cos^2}\frac{C}{2}）$，其中A、C為△ABC的內角，且2B=A+C．求$|\overrightarrow n+\overrightarrow p|$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數量積運算、夾角公式即可得出；
（2）利用由$\overrightarrow n⊥\overrightarrow q$確定出$\overrightarrow{n}$，利用三角形的余弦定理求出∠B，利用向量模的坐標公式求出$|\overrightarrow n+\overrightarrow p|$²，利用三角函數的二倍角公式化簡三角函數，利用整體思想求出三角函數的取值范圍．

解答 解：（1）設$\overrightarrow{n}$=（x，y），由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-1，x+y=1，
$\overrightarrow{n}$與向量$\overrightarrow{m}$夾角為$\frac{3}{4}$π，有$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=|$\overline{m}$||$\overrightarrow{n}$|cos$\frac{3π}{4}$=-1，
所以$|\overrightarrow n|=1$，則x²+y²=1．
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$，即$\overrightarrow n=（-1\;，\;\;0）$或$\overrightarrow n=（0\;，\;\;-1）$．
（2）由$\overrightarrow n⊥\overrightarrow q$垂直知$\overrightarrow n=（0\;，\;\;-1）$，由2B=A+C知$B=\frac{π}{3}\;，\;\;A+C=\frac{2π}{3}$
若$\overrightarrow n=（0\;，\;\;-1）$，則$\overrightarrow n+\overrightarrow p=（cosA\;，\;\;2{cos^2}\frac{C}{2}-1）=（cosA\;，\;\;cosC）$，
$|\overrightarrow n+\overrightarrow p{|^2}={cos^2}A+{cos^2}C=\frac{1+cos2A}{2}+\frac{1+cos2C}{2}$=$1+\frac{1}{2}[cos2A+cos（\frac{4π}{3}-2A）]=1+\frac{1}{2}cos（2A+\frac{π}{3}）$，
0＜A＜$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$，則$\frac{1}{2}\;≤\;1+\frac{1}{2}cos（2A+\frac{π}{3}）＜\frac{5}{4}$．
則|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）．

點評 本題考查了向量的數量積運算性質、夾角公式、倍角公式、和差化積、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．