Question

底面ABCD為一個矩形，其中AB=6，AD=4．頂部線段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6

2

，EF=2，二面角F-BC-A的余弦值為

17

17

，設M，N是AD，BC的中點，
（I）證明：BC⊥平面EFNM；
（Ⅱ）求平面BEF和平面CEF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據線面平行的性質得出EF∥AB，MN∥AB，MN∥EF，E，F，N，M四點共面，由BC⊥MN，且

FN?平面EFMN MN?平面EFMN FN∩MN=N

得證．
（2）確定角為∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，在△SFQ中，tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-

tan∠FSQ+tan∠FQS

1-tan∠FSQ•tan∠FQS

=

8

15

，運用三角函數即可求解余弦值．

解答： 證明：（1）∴EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，
又平面ABCD∩平面EFAB=AB，
∴EF∥AB
又M，N是平行四邊形兩邊AD，BC的中點，
∴MN∥AB∴MN∥EF，
∴E，F，N，M四點共面，
∵FB=FC，∴BC⊥MN，
且

FN?平面EFMN MN?平面EFMN FN∩MN=N

∴BC⊥平面EFNM；
解：（2）在平面EFNM內F作MN的垂線，垂足為H，則由（1）可知：
BC⊥平面EFNM；平面ABCD⊥平面EFNM；
∴FH⊥平面EFNM；
∵FB⊥BC，HN⊥BC，
∴二面角F-BC-A的平面角為∠FNH，
Rt△FNB，Rt△FNH中FN=

FB2-BN2

=

68

，HN=FNcos∠FNH=

68

×

17

17

=2，
∴FH=8，過H作AB，CD的垂線，垂足為S，Q．連接FN，FS，FQ，
∴∠SFQ∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，
是二面角B-EF-C的平面角，

有圖可知，AB⊥SQ，AB⊥FH，
∴AB⊥平面FSQ，由（1）知EF∥AB，∴EF⊥平面FSQ，
∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，
∴在△SFQ中，tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-

tan∠FSQ+tan∠FQS

1-tan∠FSQ•tan∠FQS

=

8

15

，
∴COS∠QFS=

15

17

，
平面BEF和平面CEF所成銳二面角的余弦值為

15

17

．

點評：本題考查了空間直線，平面的平行，垂直，夾角問題，轉化到三角形求解，屬于中檔題．