Question

設a≥0，函數f（x）=x-1-ln²x+2alnx，令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內的單調性并求極值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的概念及應用

分析：先求出f′（x），進一步得到F（x），然后對函數F′（x）求導數，通過研究導數的符號確定原函數的單調性，并求出極值．

解答： 解：由已知得f′(x)=1-

2lnx

x

+

2a

x

，
所以F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a．（x＞0）
所以F′（x）=1-

2

x

．
令F′（x）＞0，得x＞2；F′（x）＜0，得0＜x＜2．
故函數F（x）在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增．
所以x=2是函數F（x）的極小值點，
所以F（x）_極小=F（2）=2+2a-2ln2．

點評：本題考查了導數的計算、利用導數研究函數的極值等問題．屬于基礎題，難度不大．要注意計算準確．