Question

已知雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的左右焦點分別為F₁、F₂，O為雙曲線的中心，P是雙曲線右支上的點△PF₁F₂的內切圓的圓心為I，且圓I與x軸相切于點A，過F₂作直線PI的垂線，垂足為B，則|OA|•|OB|=（　　）

• A、3
• B、9
• C、25
• D、16

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用切線長定理，結合雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=6，轉化為|AF₁|-|AF₂|=6，從而求得點A的橫坐標．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線定理得出OB，從而解決問題．

解答： 解：根據題意得F₁（-5，0）、F₂（5，0），
設△PF₁F₂的內切圓分別與PF₁、PF₂切于點A₁、B₁，與F₁F₂切于點A，
則|PA₁|=|PB₁|，|F₁A₁|=|F₁A|，|F₂B₁|=|F₂A|，
又點P在雙曲線右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=6，故|F₁A|-|F₂A|=6，而|F₁A|+|F₂A|=10，
設A點坐標為（x，0），
則由|F₁A|-|F₂A|=6可得（x+5）-（5-x）=6，解得x=3，
故|OA|=3，
則△PF₁F₂的內切圓的圓心在直線x=3上，
在三角形PCF₂中，由題意得，三角形PCF₂是一個等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
|OB|=

1

2

|CF₁|=

1

2

（|PF₁|-|PC|）=

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）=3，
∴|OA|•|OB|=9，
故選：B

點評：本題考查雙曲線的定義、切線長定理．解答的關鍵是充分利用平面幾何的性質，如三角形內心的性質等．