Question

一邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒．
（1）試把方盒的容積V表示為x的函數；
（2）x多大時，方盒的容積V最大？

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,函數解析式的求解及常用方法

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（1）由于在邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長為x的小正方形，做成一個無蓋方盒，所以無蓋方盒的底面是正方形，且邊長為a-2x，高為x，從而寫出函數表達式；
（2）求導V′（x）=12x²-8ax+a²=（6x-a）（2x-a），由導數可得在x=

a

6

時函數V（x）有最大值．

解答： 解：（1）由于在邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長為x的小正方形，做成一個無蓋方盒，
所以無蓋方盒的底面是正方形，且邊長為a-2x，高為x，
則無蓋方盒的容積V（x）=（a-2x）²x，0＜x＜

a

2

；
（2）∵V（x）=（a-2x）²x=4x³-4ax²+a²x，0＜x＜

a

2

；
∴V′（x）=12x²-8ax+a²=（6x-a）（2x-a），
∴當x∈（0，

a

6

）時，V′（x）＞0；
當x∈（

a

6

，

a

2

）時，V′（x）＜0；
故x=

a

6

是函數V（x）的最大值點，
即當x=

a

6

時，方盒的容積V最大．

點評：本題考查了學生將實際問題轉化為數學問題的能力及導數在求最值時的應用，屬于中檔題．