Question

16．已知函數f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，g（x）=ax-3．
（1）當a=l時，確定函數h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）若對任意x∈[0，4]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x）成立，求 實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意：當a=l時，確定函數h（x）=f（x）-g（x）=）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$-x+3．判斷x在（0，+∞）上$\sqrt{{x}^{2}+9}$與x的大小可得單調性．
（2）求解x∈[0，4]上函數f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$的值域M，x₀∈[-2，2]上，對a討論函數g（x）=ax-3的值域N，
根據M⊆N，可得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：當a=l時，確定函數h（x）=f（x）-g（x）=）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$-x+3．
∵x∈（0，+∞）
則$\sqrt{{x}^{2}+9}-x$=$\sqrt{{x}^{2}+9}-\sqrt{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是單調增函數．
（2）由題意：x∈[0，4]上函數f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$的值域M=[3，5]，
設函數g（x）=ax-3的值域N．
∵x₀∈[-2，2]，g（x）=ax-3．
當a=0時，g（x）=-3，即值域N={-3}，
∵M⊆N，
∴不滿足題意．
當a＞0時，函數g（x）在定義域內為增函數，其值域N=[-2a-3，2a-3]，
∵M⊆N，
∴需滿足$\left\{\begin{array}{l}{-2a-3≤3}\\{2a-3≥5}\end{array}\right.$，
解得：a≥4．
當a＜0時，函數g（x）在定義域內為減函數，其值域N=[2a-3，-2a-3]，
∵M⊆N，
∴需滿足$\left\{\begin{array}{l}{2a-3≤3}\\{-2a-3≥5}\end{array}\right.$
解得：a≤-4．
綜上所得：對任意x∈[0，4]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x）成立，
實數a的取值范圍是（-∞，-4]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性的判斷和討論單調性求解值域來解決恒成立問題．屬于中檔題．