Question

17．已知過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點F₁，F(xiàn)₂的兩條互相垂直的直線的交點在橢圓內(nèi)部（不包括邊界）則此橢圓的離心率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由題意可知：O為圓心以F₁F₂為直徑的圓與橢圓沒有交點，即|OP|=c＜b，則c²＜b²=a²-c²，即a²＞2c²，求得a＞$\sqrt{2}$c，e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0＜e＜1．即可求得橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意可知橢圓內(nèi)存在點P使得直線PF₁與直線PF₂垂直，
∴O為圓心以F₁F₂為直徑的圓與橢圓沒有交點，
∴|OP|=c＜b，
∴c²＜b²=a²-c²，即a²＞2c²，
∴a＞$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜e＜1．
∴0＜e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，考查學生分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．