A. | 30° | B. | 60° | C. | 120° | D. | 150° |
分析 由向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2,再由向量的平方即為模的平方,計(jì)算即可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值.再根據(jù)根據(jù)|$\overrightarrow{AC}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2,求得|$\overrightarrow{b}$|,從而求得向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夾角θ的值.
解答 解:△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,∵向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$,
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2•2cos$\frac{π}{3}$=2,
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$•(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2,∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1.
根據(jù)|$\overrightarrow{AC}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2,可得4${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4-4+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4,可得${\overrightarrow{b}}^{2}$=4,∴|$\overrightarrow{b}$|=2.
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夾角為θ,由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1•2•cosθ=-1,可得cosθ=-$\frac{1}{2}$,∴θ=120°,
故選:C.
點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要考查向量的平方即為模的平方,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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A. | -2 | B. | 2 | C. | -1 | D. | 1 |
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A. | $x=\frac{5π}{12}$ | B. | $x=\frac{π}{3}$ | C. | $x=\frac{π}{6}$ | D. | $x=\frac{π}{12}$ |
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A. | $\frac{2}{9}$ | B. | $-\frac{2}{9}$ | C. | $\frac{7}{9}$ | D. | $-\frac{7}{9}$ |
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A. | 有3個(gè)實(shí)數(shù)根 | B. | 有2個(gè)實(shí)數(shù)根 | C. | 有唯一的實(shí)數(shù)根 | D. | 沒有實(shí)數(shù)根 |
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