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13.△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$,則向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夾角為(  )
A.30°B.60°C.120°D.150°

分析 由向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2,再由向量的平方即為模的平方,計(jì)算即可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值.再根據(jù)根據(jù)|$\overrightarrow{AC}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2,求得|$\overrightarrow{b}$|,從而求得向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夾角θ的值.

解答 解:△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,∵向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$,
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2•2cos$\frac{π}{3}$=2,
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$•(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2,∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1.
根據(jù)|$\overrightarrow{AC}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2,可得4${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4-4+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4,可得${\overrightarrow{b}}^{2}$=4,∴|$\overrightarrow{b}$|=2.
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夾角為θ,由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1•2•cosθ=-1,可得cosθ=-$\frac{1}{2}$,∴θ=120°,
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要考查向量的平方即為模的平方,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)設(shè)bn=2${\;}^{{a}_{n}}$,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=an•bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和;
(3)證明:當(dāng)n≥2時(shí),$\sqrt{\frac{1}{{{a_1}+2}}}+\sqrt{\frac{1}{{{a_2}+2}}}+\sqrt{\frac{1}{{{a_3}+2}}}+…+\sqrt{\frac{1}{{{a_n}+2}}}>\sqrt{n}$.

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2.已知公比小于1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=$\frac{1}{2},7{a_2}=2{S_3}$.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log2(1-Sn+1),若$\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_5}}}+…+\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}=\frac{5}{21}$,求n.

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3.函數(shù)f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函數(shù),且f(-1)•f(1)<0,則方程f(x)=0在[-1,1]內(nèi)(  )
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