Question

2．已知公比小于1的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=$\frac{1}{2}，7{a_2}=2{S_3}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂（1-S_n+1），若$\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_5}}}+…+\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}=\frac{5}{21}$，求n．

Answer 1

分析 （1）設出公比，利用已知條件求出公比，然后求解數列的通項公式．
（2）求出數列的和，推出通項公式，化簡所求表達式．利用裂項求和求解即可．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，
∵7a₂=2S₃，∴5a₂=2a₁+2a₃，…（2分）
則2q²-5q+2=0，解得$q=\frac{1}{2}$或q=2（舍去），…（4分）
故${a_n}=\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^n}$…（6分）
（2）∵${S_{n+1}}=\frac{{\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，…（8分）
∴b_n=log₂（1-S_n+1）=-n-1，…（9分）
∴$\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}=\frac{1}{{（{-2n}）（{-2n-2}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，…（10分）$\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_5}}}+…+\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}=\frac{1}{4}[{（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）}]=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{n+1}}）$，…（11分）
由$\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{5}{21}$，得n=20…（12分）

點評 本題開心數列的通項公式的求法，數列求和，考查轉化思想以及計算能力．