Question

8．已知函數f（x）（x∈R）滿足f（-x）=4-f（x），函數$g（x）=\frac{x-2}{x-1}+\frac{x}{x+1}$，若曲線y=f（x）與y=g（x）圖象的交點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_m，y_m），則$\sum_{i=1}^m{（{x_i}+{y_i}）=}$2m（結果用含有m的式子表示）．

Answer 1

分析 通過f（-x）=4-f（x）可知y=f（x）關于點（0，2）對稱，化簡可知g（x）+g（x）=4，進而y=g（x）關于點（0，2）對稱，從而曲線y=f（x）與y=g（x）圖象的交點關于點（0，2）對稱，計算即得結論．

解答 解：因為f（-x）=4-f（x），
所以y=f（x）關于點（0，2）對稱，
因為$g（x）=\frac{x-2}{x-1}+\frac{x}{x+1}$，
所以g（-x）=$\frac{-x-2}{-x-1}$+$\frac{-x}{-x+1}$=$\frac{x+2}{x+1}$+$\frac{x}{x-1}$，
所以g（x）+g（x）=4，
所以y=g（x）關于點（0，2）對稱，
所以曲線y=f（x）與y=g（x）圖象的交點關于點（0，2）對稱，
所以x_i+y_i=2，
所以$\sum_{i=1}^m{（{x_i}+{y_i}）=}$2m，
故答案為：2m．

點評 本題主要考查函數的圖象的對稱性的應用，屬于中檔題．