Question

16．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，bsinA+acos（B+C）=0且$c=2，sinC=\frac{3}{5}$，
（1）求證：$B-A=\frac{π}{2}$；
（2）求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）根據正弦定理可得和誘導公式即可證明，
（2）由誘導公式和二倍角公式以及同角的三角函數的關系和正弦定理即可求出

解答 （1）證明：∵bsinA+acos（B+C）=0，
∴bsinA-acosA=0，
又由正弦定理得sinAcosA-sinBsinA=0，
∵sinA≠0，
即cosA=sinB．
∴cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sinB，
∴$\frac{π}{2}$+A+B=π，
即C=A+B=$\frac{π}{2}$，或B=$\frac{π}{2}$+A，
即B-A=$\frac{π}{2}$，
又sinC=$\frac{3}{5}$，
∴B-A=$\frac{π}{2}$，
（2）由于$c=2，sinC=\frac{3}{5}$，C為銳角，
則cosC=sin（$\frac{π}{2}$-C）=sin2A=2sinAcosA=$\frac{4}{5}$，
則1+2sinAcosA=（sinA+cosA）²=$\frac{9}{5}$，
∴sinA+cosA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴a+b=$\frac{c}{sinc}$（sinA+cosA）=$\frac{10}{3}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正弦定理和二倍角公式以及同角的三角函數的關系，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題