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【題目】已知函數，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標為.

（1）求；

（2）證明：當時，曲線與直線只有一個交點.

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

試題（1），由導數的幾何意義得，故切線方程為，將點代入求；（2）曲線與直線只有一個交點轉化為函數有且只有零點．一般思路往往利用導數求函數的單調區間和極值點，從而判斷函數大致圖象，再說明與軸只有一個交點．本題首先入手點為，當時，，且，，所以在有唯一實根．只需說明當時無根即可，因為，故只需說明，進而轉化為求函數的最小值問題處理．

（1），．曲線在點處的切線方程為．由題設得，，所以．

（2）由（1）得，．設．由題設得．當時，，單調遞增，，，所以在有唯一實根．當時，令，則．，在單調遞減；在單調遞增．所以．所以在沒有實根，綜上，在上有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點．

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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系，將曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線的參數方程；

（Ⅱ）過原點且關于軸對稱的兩條直線與分別交曲線于、和、，且點在第一象限，當四邊形的周長最大時，求直線的普通方程．

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A組：10，11，12，13，14，15，16；

B組：12，13，15，16，17，14，.

假設所有病人的康復時間相互獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙.

（1）求甲的康復時間不少于14天的概率；

（2）如果，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率.

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（2）不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍.

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已知直線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.

（Ⅰ）討論直線與圓的公共點個數；

（Ⅱ）過極點作直線的垂線，垂足為，求點的軌跡與圓相交所得弦長.

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【題目】質檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機抽取100桶檢測某項質量指標，由檢測結果得到如圖的頻率分布直方圖：

(I)寫出頻率分布直方圖(甲）中的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質量指標的方差分別為，試比較的大小（只要求寫出答案）；

(Ⅱ)佑計在甲、乙兩種食用油中各隨機抽取1桶，恰有一個桶的質量指標大于20，且另—個桶的質量指標不大于20的概率；

(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認為，乙種食用油的質量指標值服從正態分布.其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，設表示從乙種食用油中隨機抽取10桶，其質量指標值位于（14.55， 38.45)的桶數，求的數學期望.

注：①同一組數據用該區間的中點值作代表，計算得：

②若，則，.

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【題目】釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領土，如圖:點分別表示釣魚島、南小島、黃尾嶼，點在點的北偏東方向，點在點的南偏西方向，點在點的南偏東方向，且兩點的距離約為3海里.

(1)求兩點間的距離；(精確到0.01)

(2)某一時刻，我國一漁船在點處因故障拋錨發出求教信號.一艘國艦艇正從點正東10海里的點處以18海里/小時的速度接近漁船，其航線為 (直線行進)，而我東海某漁政船正位于點南偏西方向20海里的點處，收到信號后趕往救助，其航線為先向正北航行8海里至點處，再折向點直線航行，航速為22海里/小時.漁政船能否先于國艦艇趕到進行救助?說明理由.