Question

10．已知函數f（x）=2ax³-（3a+1）x²+2x+5；
（1）a為何值時，函數f（x）沒有極值點；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據題意只需f′（x）≥0即可求出a的值；
（2）通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）f′（x）=6ax²-2（3a+1）x+1=2（3ax-1）（x-1），
∴3a=1，a=$\frac{1}{3}$時無極值點；
（2）由（1）得：
①a＞$\frac{1}{3}$時，$\frac{1}{3a}$＜1，
f（x）在（-∞，$\frac{1}{3a}$），（1，+∞）遞增，在（$\frac{1}{3a}$，1）遞減，
②a=$\frac{1}{3}$時，f（x）在R遞增，
③0＜a＜$\frac{1}{3}$時，1＜$\frac{1}{3a}$，
f（x）在（-∞，1，），（$\frac{1}{3a}$+∞）遞增，在（1，$\frac{1}{3a}$）遞減，
④當a=0時，f（x）=-（x-1），
f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
⑤a＜0時，$\frac{1}{3a}$＜1，
f（x）在（-∞，$\frac{1}{3a}$），（1，+∞）遞減，在（$\frac{1}{3a}$，1）遞增．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．