Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n=$\frac{1}{2}{S_n}$+1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
92）利用對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由題意，${a_n}=\frac{1}{2}{S_n}+1$，
∴${a_{n-1}}=\frac{1}{2}{S_{n-1}}+1$（n≥2，n∈N*），
兩式相減：得${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{1}{2}{a_n}$，
即a_n=2a_n-1，
又${a_1}=\frac{1}{2}{S_1}+1$，∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）可得，${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}{2^n}=n$，
∴${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項求和”方法、對數(shù)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．