Question

已知直線l：3x-4y+2=0，A（2，-3）B（1，0）
（1）設過A于l平行的直線為m，過B于l垂直的直線為n，求兩直線方程
（2）若⊙C與l，m，n三直線都相切，且過坐標原點，求圓的方程
（3）若x，y滿足圓C方程，求下列代數式的取值范圍

y-2

x

，x²+y²+2x+2，3x+4y．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線的一般式方程與直線的垂直關系,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）利用直線平行的充要條件和垂直的充要條件直接求出結果．
（2）利用直線和圓相切利用點到直線的距離求出結果．
（3）利用斜率和兩點間的距離及直線的截距建立等量關系求出結果．

解答： 解：（1）已知直線l：3x-4y+2=0，
設過點A（2，-3）與l平行的直線方程為：3x-4y+k=0
則把點A的坐標代入直線求得：k=-18
則：直線m的方程為：3x-4y-18=0
設過B（1，0）與l垂直的直線為n為：4x+3y+k=0
則把點B（1，0）的坐標代入直線方程求得：k=-4
所以：直線n的方程為：4x+3y-4=0
（2）設圓的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²
由于：該圓與三條直線都相切，又由于直線l和直線m平行
則，兩直線的距離是圓的直徑．
則：2r=

|2-(-18)|

42+32

=4
解得：r=2．
另外圓心經過到這兩平行線距離相等的直線上
則：該直線的方程為：3x-4y-8=0
并且圓經過原點，則：

a2+b2=4 3a-4b-8=0

解得：

a= 48 25 b=- 14 25

則：(x-

48

25

)2+(y+

14

25

)2=4．
（3）由（2）得到：圓的方程為：(x-

48

25

)2+(y+

14

25

)2=4
則①設k=

y-2

x

則：利用圓心到直線的距離小于后等于半徑得：
解得：k₁≤k≤k₂
②設z=x²+y²+2x+2，則z=(

(x+1)2+y2

)2+1
進一步利用圓心到點（-1，0）的距離d=

2 1073

25

則dmax=

2 1073

25

+2+1=

2 1073

25

+3，dmin=

2 1073

25

-2+1=

2 1073

25

-1
③設z=3x+4y，則：利用直線3x+4y-z=0與圓相切，求出z的最大和之小值
即：

|4-z|

5

=2
解得：z=-6或14

點評：本題考查的知識要點：直線垂直和平行的充要條件，直線與圓相切利用圓心到直線的距離等于半徑．及相關的恒等變換問題．屬于中等題型．