Question

16．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，AC=4，若E點在BC邊上，且BE=3EC，則$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AC}$=（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 根據|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
再利用平面向量的線性表示與數量積運算法則，即可求出結果．

解答 解：△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$；
畫出圖形，如圖所示：
則$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，
∴$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{4}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{4}$×4²+$\frac{1}{4}$×0=12．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量線性表示與數量積運算問題，是基礎題．