Question

已知

AB

=（-2，-3），

BC

=（x，y），

CD

=（6，1）
（Ⅰ）若

BC

∥

AD

，求x與y之間的關心；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若

AC

⊥

BD

，求向量

BC

的模的大小．

Answer 1

考點：平行向量與共線向量,數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）根據向量的坐標表示，利用向量平行，求出x與y的關系；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得x+2y=0①，由

AC

⊥

BD

得（x-2）（x+6）+（y-3）（y+1）=0②；由①②組成方程組，求出x、y的值，即得

BC

以及模長．

解答： 解：（Ⅰ）∵

AB

=（-2，-3），

BC

=（x，y），

CD

=（6，1），
∴

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=（-2+x+6，-3+y+1）=（x+4，y-2）；
又∵

BC

∥

AD

，∴x（y-2）-y（x+4）=0，
即x+2y=0；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，x+2y=0；①
∴

AC

=

AB

+

BC

=（x-2，y-3），

BD

=

BC

+

CD

=（x+6，y+1），
又∵

AC

⊥

BD

，
∴（x-2）（x+6）+（y-3）（y+1）=0；②
由①②組成方程組，解得y=-1，y=3；
對應的x=2，x=-6；
∴

BC

=（2，-1），或

BC

=（-6，3）；
∴|

BC

|=

5

，或|

BC

|=3

5

；
∴向量

BC

的模為

5

或3

5

．

點評：本題考查了平面向量的坐標表示以及平面向量的平行與垂直的應用問題，是基礎題目．