Question

已知命題p：“直線x+y-m=0與圓（x-1）²+y²=1相交”，命題q：“方程x²-x+m-4=0的兩根異號”，若p∨q為真，p∧q為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：“直線x+y-m=0與圓（x-1）²+y²=1相交”，則

|1-m|

2

＜1，解出即可．命題q：“方程x²-x+m-4=0的兩根異號”，可得m-4＜0，解得m范圍．由于p∨q為真，p∧q為假，可得p與q必然一真一假．

解答： 解：命題p：“直線x+y-m=0與圓（x-1）²+y²=1相交”，則

|1-m|

2

＜1，解出1-

2

＜m＜1+

2

．
命題q：“方程x²-x+m-4=0的兩根異號”，可得m-4＜0，解得m＜4．
∵p∨q為真，p∧q為假，
∴p與q必然一真一假．
當p真q假時，

1- 2 ＜m＜1+ 2 m≥4

，解得m∈∅；
當q真p假時，

m≤1- 2 或m≥1+ 2 m≥4

，解得m≥4．
綜上可得：實數m的取值范圍是[4，+∞）．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式、一元二次有實數根與根與系數的關系、簡易邏輯的判定，考查了推理能力，屬于基礎題．