Question

下面有四個命題：
（1）函數y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函數；
（2）函數f（x）=|cos2x|的最小正周期是π；
（3）函數f(x)=sin(x+

π

4

)在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數；
（4）函數f（x）=sin2x-cos2x的一條對稱軸是x=

3π

8

．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用誘導公式可知函數y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos

2

3

x是偶函數，可判斷（1）；
（2）由f（x+

π

2

）=f（x）可判斷（2）；
（3）利用正弦函數的單調性可知，f（x）=sin（x+

π

4

）在[-

3π

4

，

π

4

]上是增函數，在[

π

4

，

5π

4

]上是減函數，可判斷（3）；
（4）利用f（

3π

8

）=sin2x-cos2x=

2

sin（2×

3π

8

-

π

4

）=

2

，為最大值，可判斷（4）．

解答： 解：對于（1）：∵y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos

2

3

x是偶函數，故（1）正確；
對于（2）：∵f（x+

π

2

）=|cos2（x+

π

2

）|=|-cos2x|=|cos2x|=f（x），
∴函數f（x）=|cos2x|的最小正周期是

π

2

，故（2）錯誤；
對于（3）：由-

π

2

≤x+

π

4

≤

π

2

得：-

3π

4

≤x≤

π

4

，
∴f（x）=sin（x+

π

4

）在[-

3π

4

，

π

4

]上是增函數，同理可得，在[

π

4

，

5π

4

]上是減函數，故（3）錯誤；
對于（4）：∵f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
∴f（

3π

8

）=sin2x-cos2x=

2

sin（2×

3π

8

-

π

4

）=

2

，為最大值，
∴函數f（x）=sin2x-cos2x的一條對稱軸是x=

3π

8

，故（4）正確．
綜上所述，正確命題的序號是（1）（4），
故答案為：（1）（4）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查正、余弦函數的奇偶性、單調性、對稱性與最值，考查轉化思想．