Question

（1）已知集合M={x|x²-2x-3=0}，N={x|ax=1}，若N⊆M，求實數a的值．
（2）已知 p：f（x）=

1-x

3

，且|f（a）|＜2；q：集A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，且A≠∅．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,集合的包含關系判斷及應用

專題：集合,簡易邏輯

分析：（1）由于B⊆A，可對B分B=∅與B≠∅討論即可求實數a的值，（2）由條件p或q為真命題，p且q為假命題，確定p與q一真一假，然后根據命題的真假關系確定取值范圍．

解答： 解：（1）∵B⊆A，
∴當B=∅時，a=0，滿足題意；
當B≠∅，即a≠0時，B={

1

a

}，
又A={x|x²-2x-3=0}={x|x=-1或x=3}，B⊆A，
∴

1

a

=-1或

1

a

=3，
∴a=-1或a=

1

3

，
綜上所述，a=0或a=-1或a=

1

3

．
（2）由題意|f（a）|=

|1-a|

3

＜2成立，則-6＜1-a＜6，解得-5＜a＜7，
即當-5＜a＜7時，p是真命題；     
若A≠∅，則方程x²+（a+2）x+1=0有實數根，
由△=（a+2）²-4≥0，解得a≤-4，或a≥0，
即當a≤-4，或a≥0時，q是真命題；
由于p或q為真命題，p且q為假命題，
∴p與q一真一假，
故知所求a的取值范圍是（-∞，-5]∪（-4，0）∪[7，+∞）．

點評：本題（1）考查集合關系中的參數取值問題，對B分B=∅與B≠∅討論是關鍵，（2）復合命題的命題與簡單命題的真假關系的應用，將命題進行化簡是解決本題的關鍵．