Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x，若數(shù)列3，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），3m+6（m∈N^*）成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{f（x_n）}（1≤n≤m，m，n∈N^*）的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{x_n}（1≤n≤m，m，n∈N^*）的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出公差d=3，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由指數(shù)和對(duì)數(shù)的互換，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得到前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）數(shù)列3，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），3m+6（m∈N^*）成等差數(shù)列，
設(shè)公差為d，則3+（m+1）d=3m+6，則d=3，
則f（x₁）=3+3=6，
則f（x_n）=6+（n-1）•3=3n+3，
（Ⅱ）由于f（x_n）=log₂x_n=3n+3，
則x_n=2³ⁿ⁺³，則S_n=2⁶+2⁹+2¹²+…+2³ⁿ⁺³
=2⁶（1+2³+2⁶+…+2^3（n-1））
=2⁶•

1-23n

1-23

=

23n+6-64

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的求和公式，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．