Question

數列{a_n}的前n項之和為S_n，數列{a_n}由如下方式給定：

(k-1)k

2

＜n≤

k(k+1)

2

（k∈N^*）時，a_n=（-1）^n-1k，定義集合M={n|a_n是S_n的整數倍，n∈N^*且1≤n≤10}，則M中所有元素之和為（　　）

• A、21
• B、22
• C、44
• D、45

Answer 1

考點：數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由新定義可得數列{a_n}的前10項，分別求出a_n和S_n，得到滿足條件的n，求和得答案．

解答： 解：由

(k-1)k

2

＜n≤

k(k+1)

2

（k∈N^*）時，a_n=（-1）^n-1k，可得
數列{a_n}的前10項為1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4．
當n=1時，a_n=1，S_n=1，a_n是S_n的整數倍；
當n=2時，a_n=-2，S_n=-1，a_n是S_n的整數倍；
當n=3時，a_n=2，S_n=1，a_n是S_n的整數倍；
當n=4時，a_n=-3，S_n=-2，a_n不是S_n的整數倍；
當n=5時，a_n=3，S_n=1，a_n是S_n的整數倍；
當n=6時，a_n=-3，S_n=-2，a_n不是S_n的整數倍；
當n=7時，a_n=4，S_n=2，a_n是S_n的整數倍；
當n=8時，a_n=-4，S_n=-2，a_n是S_n的整數倍；
當n=9時，a_n=4，S_n=2，a_n是S_n的整數倍；
當n=10時，a_n=-4，S_n=-2，a_n是S_n的整數倍．
∴M中所有元素為1，2，3，5，7，8，9，10，和為45．
故選：D．

點評：本題是新定義題，考查了數列的求和，關鍵是對題意的理解，是中檔題．