Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1及橢圓外一點M（0，2），過這點引直線與橢圓交于A、B兩點，求AB中點P的軌跡方程．（用兩種方法解答）

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：方法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P（x，y）．x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．
則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，兩式相減即可得出．
方法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P（x，y）．x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+2．與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，即可得出．

解答： 解：方法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P（x，y）．
x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．
則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，
兩式相減可得

(x1+x2)(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴x+2y•

y-2

x

=0，
化為

x2

2

+(y-1)2=1，x=0，y=0時滿足上述方程．
方法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P（x，y）．
x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．
當直線AB的向量存在時，設直線AB的方程為y=kx+2．
聯立

y=kx+2 x2+2y2=2

，
化為（1+2k²）x²+8kx+6=0，
△＞0，
x₁+x₂=

-8k

1+2k2

．
∴x=

-4k

1+2k2

，y=kx+2，
把k=

y-2

x

代入x=

-4k

1+2k2

，
化為

x2

2

+(y-1)2=1，x=0，y=0時滿足上述方程．

點評：本題考查了直線與橢圓相交的中點弦問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．