Question

設(shè)x＞0，y＞0，求

x-y

(1+x)(1+y)+xy

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)y=kx，k＞0，變形為：原式=

x-y

(1+x)(1+y)+xy

=

(1-k)x

2kx2+(k+1)x+1

=

(1-k)

2kx+ 1 x +(k+1)

，分類討論利用基本不等式求解．

解答： 解：設(shè)y=kx，k＞0，
原式=

x-y

(1+x)(1+y)+xy

=

(1-k)x

2kx2+(k+1)x+1

=

(1-k)

2kx+ 1 x +(k+1)

，
∵2kx+

1

x

≥2

2k

，
∴

1

2kx+ 1 x +(k+1)

≤

1

2 2k +(k+1)

當(dāng)k=1時(shí)，原式=0，
當(dāng)k＞1時(shí)，

1-k

2 2k +(k+1)

≤

(1-k)

2kx+ 1 x +(k+1)

＜0
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，0＜

(1-k)

2kx+ 1 x +(k+1)

≤

1-k

2 2k +(k+1)

，
綜上：當(dāng)k=1時(shí)，

x-y

(1+x)(1+y)+xy

=0
當(dāng)k＞1時(shí)，

1-k

2 2k +(k+1)

≤

x-y

(1+x)(1+y)+xy

＜0
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，0＜

x-y

(1+x)(1+y)+xy

≤

1-k

2 2k +(k+1)

，

點(diǎn)評：本題考查了基本不等式的運(yùn)用，運(yùn)用待定系數(shù)思想，設(shè)參變量恒等變形，屬于難題．