Question

設函數f（x）=

1

x

-x，對任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、m＜-1
• B、0＜m＜1
• C、m＜-1或0＜m＜1
• D、-1＜m＜0

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：已知f（x）為減函數且m≠0，分當m＞0與當m＜0兩種情況進行討論，注意運用參數分離法，求函數的最小值，即可得出答案．

解答： 解：已知f（x）為減函數且m≠0，x≥1，有f（x）≤f（1）=0
當m＞0，由復合函數的單調性可知f（mx）和mf（x）均為減函數，
此時不符合題意．
當m＜0時，有（

1

mx

-mx）+

m

x

-mx＜0，
即有1+

1

m2

＜2x²，
因為y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值為2，
所以1+

1

m2

＜2，
即m²＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．
故選A．

點評：本題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想，屬于中檔題，解決恒成立問題通常可以利用分離變量轉化為最值的方法求解．