Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，求證f（x）＞3（x-1）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得切線的斜率，解a的方程可得a的值；
（2）求出f（x）的解析式，令g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，求得導(dǎo)數(shù)，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理可得h（x）零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而得到g（x）的單調(diào)性，即有g(shù)（x）的最小值，即可得證．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=ax+xlnx，所以f′（x）=a+lnx+1．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e處的切線斜率為3，
所以f′（e）=3，即a+lne+1=3．所以a=1．…（3分）
（2）證明：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，
則g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，-----------------------（5分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（7分）
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀，h（x）＜0，即g′（x）＜0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g′（x）＞0，…（9分）
所以函數(shù)g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[g（x）]_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+ln{x}_{0}）}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}（1+{x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀．
因?yàn)閤₀＞3，所以x＞1時(shí)，令$\frac{f（x）}{x-1}$＞3，即f（x）＞3（x-1）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，注意運(yùn)用方程思想，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．