Question

18．已知函數f（x）=ln（1+x）-ax，$g（x）=\frac{x}{1+x}-bln（1+x）$．
（Ⅰ）當b=1時，求g（x）的最大值；
（Ⅱ）若對?x∈[0，+∞），f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明$\sum_{i=1}^n{\frac{i}{{{i^2}+1}}-lnn}≤\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數g（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數g（x）的最大值即可；
（Ⅱ）求出函數f（x）的導數，通過討論a的范圍，得到函數f（x）的單調區間，從而確定a的具體范圍即可；
（Ⅲ）得到$\frac{x}{1+x}＜ln（1+x）$（x＞0），取$x=\frac{1}{n}•\frac{1}{1+n}＜ln（1+\frac{1}{n}）$，作差證出結論即可．

解答 解：（Ⅰ）當b=1時，$g（x）=\frac{x}{1+x}-ln（1+x）$，x∈（-1，+∞），
$g'（x）=\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}-\frac{1}{1+x}=\frac{-x}{{{{（1+x）}^2}}}$，
當x∈（-1，0）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；
當x∈（0，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減；
∴函數g（x）的最大值g（0）=0．
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{1+x}-a$，∵x∈[0，+∞），∴$\frac{1}{1+x}∈（0，1]$．
①當a≥1時，f'（x）≤0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上是減函數，
∴f（x）≤f（0）=0適合題意．
②當a≤0時，$f'（x）=\frac{1}{1+x}-a＞0$，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，
∴f（x）=ln（1+x）-ax＞f（0）=0，
不能使f（x）＜0在[0，+∞）恒成立．
③當0＜a＜1時，
令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{a}-1$，
當$x∈[0，\frac{1}{a}-1）$時，f'（x）≥0，
∴f（x）在$[0，\frac{1}{a}-1）$上為增函數，
∴f（x）＞f（0）=0，不能使f（x）＜0在[0，+∞）恒成立，
∴a的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）得$\frac{x}{1+x}-ln（x+1）≤0$，
∴$\frac{x}{1+x}＜ln（1+x）$（x＞0），
取$x=\frac{1}{n}•\frac{1}{1+n}＜ln（1+\frac{1}{n}）$，${x_n}=\sum_{i=1}^n{\frac{i}{{{i^2}+1}}}-lnn$，則${x_1}=\frac{1}{2}$，
∴${x_n}-{x_{n-1}}=\frac{n}{{{n^2}+1}}-[{lnn-ln（n-1）}]$
=$\frac{n}{{{n^2}+1}}-ln（1+\frac{1}{n-1}）$$＜\frac{n}{{{n^2}+1}}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{{（{n^2}+1）n}}＜0$，
∴${x_n}＜{x_{n-1}}＜…＜{x_1}=\frac{1}{2}$，
∴$\sum_{i=1}^n{\frac{i}{{{i^2}+1}}}-lnn≤\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．