Question

9．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓C上存在點(diǎn)P使∠F₁PF₂為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由∠F₁PF₂為鈍角，得到$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解，轉(zhuǎn)化為c²＞x₀²+y₀²有解，求出x₀²+y₀²的最小值后求得橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則|x₀|＜a，
又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
又∠F₁PF₂為鈍角，當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解，
即（-c-x₀，-y₀）•（c-x₀，-y₀）=（-c-x₀）（c-x₀）+y₀²＜0，
即有c²＞x₀²+y₀²有解，即c²＞（x₀²+y₀²）_min．
又y₀²=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²，
∴x₀²+y₀²=b²+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²∈[b²，a²），
即（x₀²+y₀²）_min=b²．
故c²＞b²，c²＞a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，即e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，主要是求離心率的范圍，考查了平面向量數(shù)量積在解題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于把存在一點(diǎn)P使∠F₁PF₂為鈍角轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解．