Question

16．已知O是坐標原點，點A（1，0），若點M（x，y）為平面區域$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{y≤2}\end{array}\right.$上的一個動點，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是（　　）

• A． [$\sqrt{5}$，2$\sqrt{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，1]
• C． [$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由題意作出可行域，由向量的坐標加法運算求得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$的坐標，把|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|轉化為可行域內的點M（x，y）到定點D（-1，0）的距離，數形結合可得答案．

解答 解：∵點A（1，0），點M（x，y），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$=（1+x，y），
設z=|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（1+x）^{2}+{y}^{2}}$，
則z的幾何意義為M到定點D（-1，0）的距離，
由約束條件作平面區域如圖，

由圖象可知當M位于A（1，2）時，z取得最大值z=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
當M位于E時，z取得最小值z=$\frac{|-1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
即|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$]，
故選：C

點評 本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合、轉化與化歸等解題思想方法，考查了向量模的求法，是中檔題．