Question

【題目】設直線l：y=2x﹣1與雙曲線（，）相交于A、B兩個不

同的點，且（O為原點）．

（1）判斷是否為定值，并說明理由；

（2）當雙曲線離心率時，求雙曲線實軸長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）為定值5．將直線y=2x﹣1與雙曲線的方程聯立，運用韋達定理和向量數量積的坐標表示，化簡整理即可得到定值；

（2）運用雙曲線的離心率公式和（1）的結論，解不等式即可得到所求實軸的范圍．

（1）為定值5．

理由如下：y=2x﹣1與雙曲線聯立，

可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠2a），

即有△=16a4+4（b2﹣4a2）（a2+a2b2）＞0，

化為1+b2﹣4a2＞0，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=，x1x2=，由（O為原點），可得

x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，

即5﹣2+1=0，

化為5a2b2+a2﹣b2=0，即有=5，為定值．

（2）由雙曲線離心率時，

即為＜＜，即有2a2＜c2＜3a2，

由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜2a2，即＜＜，

由=5，可得＜﹣5＜，化簡可得a＜，

則雙曲線實軸長的取值范圍為（0，）．