【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為等腰梯形，
，其中點
在以
為直徑的圓上，
，
，
，平面
平面.
（1）證明：
平面.
（2）設點
是線段
（不含端點）上一動點，當三棱錐
的體積為1時，求異面直線
與
所成角的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）利用余弦定理，由勾股定理可得
，再根據面面垂直的性質可得
平面
；（2）設
，則
，由
，解得
，即點
是線段
的中點. 取
的中點為
，連接
，可證明四邊形
為平行四邊形，從而
，且
，可得
為異面直線
與
所成角（或補角），再利用余弦定理可得結果.
（1）連接
，
，因為點
在以為直徑的圓上，所以
.
因為
，所以
，
.
所以
.
因為為等腰梯形，
，
所以
.
又因為
，
，
所以
，從而得.
又因為平面
平面，平面
平面
，
所以平面.
（2）由（1）得
，
設，則，
所以，解得，
即點是線段的中點.
取的中點為，連接，則由（1）及條件得
，且
，
所以四邊形為平行四邊形，從而，且，
所以為異面直線與所成角（或補角）.
因為
，所以
.
因為
，所以
，
所以
，
所以
，
即異面直線與所成角的余弦值為.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，O坐標原點，從直線y
x+1上的一點
作x軸的垂線，垂足記為Q1，過Q1作OP1的平行線，交直線yx+1于點
，再從P2作x軸的垂線，垂足記為Q2，依次重復上述過程得到一系列點：P1，Q1，P2，Q2，…，Pn，Qn，記Pk點的坐標為
，k＝1，2，3，…，n，現已知x1＝2．
（1）求Q2、Q3的坐標；
（2）試求xk（1≤k≤n）的通項公式；
（3）點Pn、Pn+1之間的距離記為|PnPn+1|（n∈N*），是否存在最小的正實數t，使得
t對一切的自然數n恒成立？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】用0與1兩個數字隨機填入如圖所示的5個格子里，每個格子填一個數字，并且從左到右數，不管數到哪個格子，總是1的個數不少于0的個數，則這樣填法的概率為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設直線l：y=2x﹣1與雙曲線
（
，
）相交于A、B兩個不
同的點，且
（O為原點）．
（1）判斷
是否為定值，并說明理由；
（2）當雙曲線離心率
時，求雙曲線實軸長的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分10分）選修4—4，坐標系與參數方程
已知曲線
，直線
：
（
為參數）.
（I）寫出曲線
的參數方程，直線
的普通方程；
（II）過曲線
上任意一點
作與
夾角為
的直線，交
于點
，
的最大值與最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（2）求棱錐E-DFC的體積；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出
的值；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額
（單位：億元）的折線圖.
為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了與時間變量
的兩個線性回歸模型.根據2000年至2016年的數據（時間變量的值依次為1，2，…，17）建立模型
①
；
根據2010年至2016年的數據（時間變量的值依次為1，2，…，7）建立模型
②
.
利用這兩個模型，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值分別為_____，_____；并且可以判斷利用模型_____得到的預測值更可靠.
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