【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為等腰梯形，
，其中點
在以
為直徑的圓上，
，
，
，平面
平面.
（1）證明：
平面.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
，
，根據直徑所對圓周角是直角，得到
，計算出
的長，通過勾股定理證得
，再根據面面垂直的性質定理得到
平面
.（2）
為坐標原點，分別以
，
，
的方向為
，
，
軸的正方向建立空間直角坐標系通過計算平面
和平面
的法向量，計算二面角
的余弦值，進而求得其正弦值.
（1）證明：連接，，因為點在以
為直徑的圓上，所以.
因為
，所以
，
.
所以
.
因為為等腰梯形，
，
所以
.
又因為
，
，
所以
，從而得.
又因為平面
平面，平面
平面
，
所以平面.
（2）解：由（1）易知
，
，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標系
，則
，
，
，
.
因為
，所以
，
，
，
.
設平面
的法向量為
，平面
的法向量為
，
由
，得
，令
，得
，
由
，得
，令
，得
，
所以
，所以
，
故二面角的正弦值為.
挑戰100單元檢測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為
，點
在橢圓C上，直線
與橢圓C交于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N
Ⅰ
求橢圓C的方程；
Ⅱ在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數k怎樣變化，總有
為直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設直線l：y=2x﹣1與雙曲線
（
，
）相交于A、B兩個不
同的點，且
（O為原點）．
（1）判斷
是否為定值，并說明理由；
（2）當雙曲線離心率
時，求雙曲線實軸長的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，平面
平面
，
是等腰直角三角形，
，四邊形
是直角梯形，
，
，
，
，
分別為
，
的中點．
（1求異面直角與所成角的大小；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分10分）選修4—4，坐標系與參數方程
已知曲線
，直線
：
（
為參數）.
（I）寫出曲線
的參數方程，直線
的普通方程；
（II）過曲線
上任意一點
作與
夾角為
的直線，交
于點
，
的最大值與最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，左焦點為
，點
是橢圓上位于
軸上方的一個動點，當直線
的斜率為1時，
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓的另外一個交點為
，點關于軸的對稱點為
，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為降低汽車尾氣排放量，某工廠設計制造了
、
兩種不同型號的節排器，規定性能質量評分在
的為優質品．現從該廠生產的、兩種型號的節排器中，分別隨機抽取500件產品進行性能質量評分，并將評分分別分成以下六個組；
，
，
，
，
，
，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）設500件型產品性能質量評分的中位數為
，直接寫出所在的分組區間；
（2）請完成下面的列聯表（單位：件）（把有關結果直接填入下面的表格中）；
|
| 總計 | |
優質品 | |||
非優質品 | |||
總計 | 500 | 500 | 1000 |
（3）根據（2）中的列聯表，能否有
的把握認為、兩種不同型號的節排器性能質量有差異？
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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