Question

如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，為線段的中點．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

 

 

Answer 1

證明：（1）見解析；（2）二面角的平面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：證明：（1）注意做輔助線，連結和交于，連結，

根據為中點，為中點，得到

， 即證得平面；

（2）應用已知條件，研究得到，

平面，，創造建立空間直角坐標系的條件，通過

以為原點，以為軸建立如圖所示的坐標系，

應用“向量法”解題；

解答本題的關鍵是確定“垂直關系”，這也是難點所在，平時學習中，應特別注意轉化意識的培養，能從“非規范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標系的條件.

試題解析：證明：（1）連結和交于，連結， 1分

為正方形，為中點，為中點，

， 3分

平面，平面

平面． 4分

（2）平面，平面，，

為正方形，，

平面，

平面，

平面， 6分

以為原點，以為軸建立如圖所示的坐標系，

則，，，

平面，平面，

，

為正方形，，

由為正方形可得：，

設平面的法向量為

，

由，令，則

8分

設平面的法向量為，

，

由 ，令，則，

10分

設二面角的平面角的大小為，則

二面角的平面角的余弦值為 12分

考點：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義及計算，空間向量的應用.