Question

6．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸、橢圓C順次相交于A，M，N（A點在橢圓右頂點的右側），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．求證直線l恒過定點，并求出斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓焦點在x軸上，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a²=2b²．由原點到直線x-y+$\sqrt{2}$=0的距離為b，即b=$\frac{丨0-0+\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，即可求得²=2，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），代入橢圓方程，由△＞0，求得m²＜2k²+1，由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，∠NF₂F₁=∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，${k}_{M{F}_{2}}$+${k}_{N{F}_{2}}$=0，由直線的斜率公式，求得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．即可求得m=-2k，代入直線方程求得y=kx-2k=k（x-2），則直線過定點（2，0），由m²＜2k²+1，即可求得斜率k的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）可知焦點在x軸上，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2b²．
∵以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切，
∴原點到直線x-y+$\sqrt{2}$=0的距離為b，
b=$\frac{丨0-0+\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，
∴b²=1，a²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．…（4分）
（2）由題意，設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，得m²＜2k²+1，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$．…（7分）
∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，${k}_{M{F}_{2}}$+${k}_{N{F}_{2}}$=0．
又F₂（1，0），
則$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=0，即$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$=0，
化簡得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
將x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，代入上式，求得m=-2k，…（9分）
∴直線l的方程為y=kx-2k=k（x-2），
∴直線過定點（2，0）． …（10分）
將m=-2k代入m²＜2k²+1，
得4k²＜2k²+1，即k²＜$\frac{1}{2}$，
又∵k≠0，
∴直線l的斜率k的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，點到直線的距離公式及直線方程的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．