Question

16．根據下列算法語句，將輸出的A值依次記為a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₁₅；已知函數f（x）=a₂sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是a₁，且函數y=f（x）的圖象關于直線x=$\frac{1}{6}$對稱．
（Ⅰ）求函數y=f（x）表達式；
（Ⅱ）已知△ABC中三邊a，b，c對應角A，B，C，a=4，b=4$\sqrt{3}$，∠A=30°，求f（B）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知算法語句可知所求為2015個奇數的和；根據a₁=1，a₂=4，得到函數的周期，由對稱軸x=$\frac{1}{6}$，結合|φ|＜$\frac{π}{2}$得到φ，從而求出三角函數解析式；
（Ⅱ）由正弦定理計算B，即可求f（B）．

解答 解：（Ⅰ）由已知，當n≥2時，a_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
而a₁=1也符合a_n=n²，知a₁=1，a₂=4，所以函數y=f（x）的最小正周期為1，所以ω=2π，
則f（x）=4sin（2πx+φ），
又函數y=f（x）的圖象關于直線x=$\frac{1}{6}$對稱
所以$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），因為|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{6}$，則f（x）=4sin（2πx+$\frac{π}{6}$）（6分）
（Ⅱ）由正弦定理計算$\frac{4}{\frac{1}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{sinB}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴B為$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
可得f（B）=4sin（$\frac{2{π}^{2}}{3}$+$\frac{π}{6}$）或4sin（$\frac{4{π}^{2}}{3}$+$\frac{π}{6}$）  （12分）

點評 本題考查了算法語句的認識以及三角函數的性質運用，屬于中檔題．