Question

13．已知函數f（x）=（x+a）e^x+b（x-2）²，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y=-5．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導數，可得切線的斜率，結合切點，可得a，b的方程組，即可解得a，b的值；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，求得導數，令導數為0，求得極值點，討論當x＜0時，當0＜x＜2時，當x＞2時可得導數的符號，可得單調區間，進而得到極值．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=（x+a）e^x+b（x-2）²的導數為f′（x）=（x+a+1）e^x+2b（x-2），
曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為（a+1）e⁰-4b=a+1-4b=0，①
f（0）=-5即a+4b=-5②
解方程組，可得a=-3，b=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）函數f（x）=（x-3）e^x-$\frac{1}{2}$（x-2）²，
導數f′（x）=（x-2）e^x-（x-2）=（x-2）（e^x-1），
由f′（x）=0可得x=0或x=2．
當x＜0時，x-2＜0，e^x-1＜0，可得f′（x）＞0；
當0＜x＜2時，x-2＜0，e^x-1＞0，可得f′（x）＜0；
當x＞2時，x-2＞0，e^x-1＞0，可得f′（x）＞0；
可得f（x）在（-∞，0），（2，+∞）遞增；在（0，2）遞減．
即有f（x）的極小值為f（2）=-e²；極大值為f（0）=-5．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區間、極值，考查方程思想和不等式解法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．