Question

6．設平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2若平面向量$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用特殊值法，設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，2），
結合向量的基本運算進行轉化求解即可．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴不妨設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，2），
則$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1，2），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（1，-2），
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+（-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵向量$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
∴|$\overrightarrow{c}$-（1，2）|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，
即向量$\overrightarrow{c}$的幾何意義是以定點A（1，2）為原點，半徑R=$\sqrt{5}$的圓，
則|$\overrightarrow{c}$|的幾何意義圓上的點到圓的距離，
則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為|OA|+R=$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
即|$\overrightarrow{c}$|的最大值為2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查向量模長的計算，根據條件利用坐標法是解決本題的關鍵．