Question

3．在公差不為0的等差數列{a_n}中，a₃+a₁₀=15，且a₂，a₅，a₁₁成等比數列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列的公差為d，并由條件確定d的范圍，根據等差數列的通項公式及等比數列的性質、以及題意列出關于首項和公差的方程組，求出公差和首項后代入等差數列的通項公式化簡即可；
（2）把（1）求出的a_n代入b_n，再求出b_n的表達式，然后由裂項相消法來求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）設正項等差數列{a_n}的公差為d，則d≠0，
由a₃+a₁₀=15，且a₂，a₅，a₁₁成等比數列得，
$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+11d=15①\\}\\{（{a}_{1}+4d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+10d）②}\end{array}\right.$，
②化為6d²-3da₁=0，
因為d≠0，
所以a₁=2d，代入①解得，
d=1，則a₁=2，
所以，a_n=a₁+（n-1）•d=n+1；
（2）由（1）知，a_n=n+1，則
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
所以S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$，
即S_n=$\frac{n}{2（n+2）}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及等比數列的性質，此題的關鍵是根據條件和公式列出方程組，考查了基礎知識和運算能力．