Question

11．定義在R上的函數f（x）滿足：①f（0）=0，②f（x）+f（1-x）=1，③f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）且當0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），則f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{8}$）等于（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 反復運用條件f（x）+f（1-x）=1與f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），求得f（0）、f（1），推出x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時，f（x）=$\frac{1}{2}$，最后把x=$\frac{3}{8}$代入f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）得f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{8}$），再由f（$\frac{3}{8}$）=$\frac{1}{2}$求得結果

解答 解：把x=0代入f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）得f（0）=$\frac{1}{2}$f（0），
∴f（0）=0，
把x=1代入f（x）+f（1-x）=1可知f（1）+f（0）=1，
∴f（1）=1，
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
把x=$\frac{1}{2}$代入f（x）+f（1-x）=1可得f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
又因為0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），
所以x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時，f（x）=$\frac{1}{2}$，
把x=$\frac{3}{8}$代入f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）得f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{8}$），
∵x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時，f（x）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{3}{8}$）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{8}$）=$\frac{1}{4}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
故選：B．

點評 本題主要考查抽象函數的性質，解答的關鍵是反復運用所給的條件，利用式子與式子之間的變換得到結論．