Question

16．已知函數f（x）=$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$．
（1）求f（x）定義域和值域．
（2）若f（x）＞$\sqrt{6}$，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意函數解析式有意義，9^x-3^x≥0可得定義域．因為9^x≥3^x，函數f（x）在定義內是增函數．利用單調性求解即可得函數的值域．
（2）由題意：f（x）＞$\sqrt{6}$，即$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$＞$\sqrt{6}$，采用兩邊平方法求解即可．

解答 解：函數f（x）=$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$．
函數解析式有意義，9^x-3^x≥0，
解得：x≥0，
∴函數f（x）的定義域為{x|x≥0}．
∵9^x≥3^x
∴函數f（x）=$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$在定義內是增函數．
當x=0時，函數f（x）取得最小值0，
所以函數f（x）的值域為[0，+∞）．
（2）由題意：f（x）＞$\sqrt{6}$，即$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$$＞\sqrt{6}$，
兩邊平方，可得：9^x-3^x＞6，
整理化簡：（3^x-3）（3^x+2）＞0．
得：3^x＞3，即：x＞1．
故得實數x的取值范圍（1，+∞）．

點評 本題考查了指數函數的運算，定義域值域的求法和解不等式．屬于基礎題．