Question

7．已知點A（-3，0），B（3，0），動點P滿足|PA|=2|PB|．
（1）若動點P的軌跡為曲線C，求此曲線C的方程；
（2）若曲線C的切線在兩坐標軸上有相等的截距，求此切線方程．

Answer 1

分析 （1）設P點的坐標為（x，y），用坐標表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得點P的軌跡方程；
（2）由已知圓的方程求出圓心坐標和半徑，然后分圓的切線過原點和不過原點討論，再由點到直線的距離公式列式求出待定系數法，則切線方程可求．

解答 解：（1）設P點的坐標為（x，y），
∵兩定點A（-3，0），B（3，0），動點P滿足|PA|=2|PB|，
∴（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，
即（x-5）²+y²=16．
所以此曲線的方程為（x-5）²+y²=16 …（6分）
（2）當切線在兩坐標軸上截距均為0時，設切線y=kx，由相切得$\frac{|5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，
∴k=±$\frac{4}{3}$，∴切線方程為y=±$\frac{4}{3}$ x；
當切線在兩坐標軸上截距相等且不為0時，設切線x+y=a（a≠0），
由相切有$\frac{|5-a|}{\sqrt{2}}$=4，∴a=5±4$\sqrt{2}$，
∴切線方程為x+y=5±4$\sqrt{2}$，
綜上：切線方程為y=±$\frac{4}{3}$ x或x+y=5±4$\sqrt{2}$…（6分）

點評 考查兩點間距離公式及圓的性質，著重考查直線與圓的位置關系，考查計算能力，轉化思想的應用，屬于中檔題．