Question

12．已知函數f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，證明f（x）在區間[1，+∞）上為減函數．

Answer 1

分析 證法一：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，作差比較f（x₁），f（x₂）的大小，結合單調性的定義，可得結論；
證法二：求導，判斷出導函數在區間[1，+∞）上的符號，可得原函數的單調性．

解答 證法一：（定義法），
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}{{（x}_{2}}^{2}+1）-{x}_{2}{{（x}_{1}}^{2}+1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在區間[1，+∞）上為減函數．
證法二：（導數法）
∵函數f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∴函數f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x}^{2}+1）^{2}}$，
當x∈[1，+∞）時，f′（x）≤0恒成立，
故f（x）在區間[1，+∞）上為減函數．

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數單調性的判斷與證明，難度中檔．