Question

20．已知函數f（x）=$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²（k∈R）有兩個零點，則k的取值范圍k＜0或0＜k＜1．

Answer 1

分析 若函數f（x）有2個不同的零點，則$\frac{|x|}{x+2}$-kx²=0 ①有2個不同的實數根．再分（1）當x=0時、（2）x≠0時2種情況，分別求出方程的根，綜合可得方程①有2個不相等的實數根的條件．

解答 解：若函數f（x）=$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²（k∈R）有兩個零點，
則$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²=0 ①有兩個不同的實數根．
（1）當x=0時，不論k取何值，方程①恒成立，即x=0恒為方程①的一個實數解．
（2）故只需x≠0，函數f（x）=$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²（k∈R）有1個零點
?$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²=0 有1個不同的實數根
?$\frac{1}{x+2}$=k|x|有1個異根，
?函數y=$\frac{1}{x+2}$與y=k|x|有1個交點，
如圖示：
，
k＞0時，由$\frac{1}{x+2}$=-kx得：kx²+2kx+1=0，
△=4k²-4k=0，解得：k=1，
結合圖象，k＜0或0＜k＜1，
故答案為：k＜0或0＜k＜1．

點評 本題主要考查函數零點和方程的根的關系，方程根的存在性以及個數判斷，二次函數的性質，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．