Question

10．若點P（2，-1）（直角坐標系下的坐標）為曲線ρ²-2ρcosθ-24=0（極坐標系下的方程）的弦的中點，則該弦所在直線的直角坐標方程為x-y-3=0．

Answer 1

分析 曲線ρ²-2ρcosθ-24=0，化為直角坐標方程：（x-1）²+y²=25．設經過點P（2，-1）的弦的端點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．代入圓的方程相減可得：（x₁+x₂-2）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，再利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．

解答 解：曲線ρ²-2ρcosθ-24=0，化為直角坐標方程：x²+y²-2x-24=0，（x-1）²+y²=25．
設經過點P（2，-1）的弦的端點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入圓的方程可得：$（{x}_{1}-1）^{2}$+${y}_{1}^{2}$=25，$（{x}_{2}-1）^{2}$+${y}_{2}^{2}$=25，
相減可得：（x₁+x₂-2）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
把x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k代入上式可得：（4-2）-2k=0，解得k=1．
∴該弦所在直線的直角坐標方程為：y+1=x-2，即x-y-3=0．
故答案為：x-y-3=0．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、中點坐標公式、斜率計算公式、“點差法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．