Question

15．已知函數f（x）=x²+bx+c滿足f（0）=0，且f（-1-x）=f（x），令g（x）=f（x）-|x-1|．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出b，c即可推出函數的解析式．
（2）g（x）=f（x）-|x-1|表示為分段函數的形式，然后求解最小值．

解答 （1）解：∵f（0）=0，∴c=0．…（2分）
∵對于任意x∈R都有，f（-1-x）=f（x）
∴函數f（x）的對稱軸為$x=-\frac{1}{2}$，即b=1．…（4分）
∴f（x）=x²+x．----（6分）
（2）$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+1（x≥1）}\\{{x^2}+2x-1（x＜1）}\end{array}}\right.$-------（8分）
當x≥1時  g（x）=x²+1 函數的最小值為2
當x＜1時  g（x）=x²+2x-1 函數的最小值為1-------（11分）
所以函數的最小值為1-------------（12分）

點評 本題考查二次函數的性質，函數的解析式的求法，分段函數的應用，考查計算能力．