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15.已知函數f(x)=x2+bx+c滿足f(0)=0,且f(-1-x)=f(x),令g(x)=f(x)-|x-1|.
(1)求函數f(x)的表達式;
(2)求函數g(x)的最小值.

分析 (1)利用已知條件求出b,c即可推出函數的解析式.
(2)g(x)=f(x)-|x-1|表示為分段函數的形式,然后求解最小值.

解答 (1)解:∵f(0)=0,∴c=0.…(2分)
∵對于任意x∈R都有,f(-1-x)=f(x)
∴函數f(x)的對稱軸為$x=-\frac{1}{2}$,即b=1.…(4分)
∴f(x)=x2+x.----(6分)
(2)$g(x)=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+1(x≥1)}\\{{x^2}+2x-1(x<1)}\end{array}}\right.$-------(8分)
當x≥1時  g(x)=x2+1 函數的最小值為2
當x<1時  g(x)=x2+2x-1 函數的最小值為1-------(11分)
所以函數的最小值為1-------------(12分)

點評 本題考查二次函數的性質,函數的解析式的求法,分段函數的應用,考查計算能力.

練習冊系列答案
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A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{4}{3}$

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