Question

20．已知函數f（x）=x²+2x
（1）若x∈[-2，a]，a＞-2時，求f（x）的值域；
（2）若存在實數t，當x∈[1，m]，m＞1時，f（x+t）≤3x恒成立，求實數m的取值范圍．
（提示：當x∈[a，b]時f（x）≤k恒成立，則f（x）_max≤k；存在x∈[a，b]使得f（x）≤k，則f（x）_min≤k）

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的性質即可，分類討論，即可求f（x）的值域；
（2）將不等式恒成立進行轉化為求函數的最值即可得到結論．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+2x的對稱軸為x=-1，
當-2＜a＜1時，函數f（x）在[-2，a]上單調遞減，f（x）_min=f（a）=a²+2a，f（x）_max=f（2）=8，此時函數的值域為[a²+a，8]；
當-1≤a≤0時，函數f（x）在[-2，-1]上單調遞減，在[-1，a]上單調遞增，f（x）_min=f（-1）=-1，f（x）_max=f（2）=8，此時函數的值域為[-1，8]；
當a＞0時，函數f（x）在[-2，-1]上單調遞減，在[-1，a]上單調遞增，f（x）_min=f（-1）=-1，f（x）_max=f（a）=a²+2a，此時函數的值域為[-1，a²+a]；
（2）由f（x+t）≤3x恒成立得：x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立，
令u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，x∈[1，m]，
∵拋物線的開口向上，
∴u（x）的最大值為max{u（1），u（m）}，
由u（x）≤0恒成立知：$\left\{\begin{array}{l}{u（1）≤0}\\{u（m）≤0}\end{array}\right.$，
化簡得：$\left\{\begin{array}{l}{-4≤t≤0}\\{{t}^{2}+2（1+m）t+{m}^{2}-m≤0}\end{array}\right.$，
令g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，
則原題可轉化為：存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0，
即：當t∈[-4，0]，g（t）_min≤0，
∵m＞1，g（t）的對稱軸：t=-1-m＜-2，
①若-1-m＜-4，即m＞3時，g（t）_min=g（-4）=16-8（1+m）+m²-m≤0，
解得3＜m≤8，
②當-4≤-1-m≤-2，
即：1＜m≤3時，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m≤0，
解得1＜m≤3，
綜上：m的取值范圍為：（1，8]

點評 本題主要考查二次函數的圖象和性質，以及二次函數恒成立問題，考查學生的分析能力，綜合性較強，運算量較大．