Question

4．在平面直角坐標系xOy中，角α的頂點是坐標原點，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點A（x₁，y₁），α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．將角α終邊繞原點按逆時針方向旋轉$\frac{π}{4}$，交單位圓于點B（x₂，y₂）．過A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記△AOC及△BOD的面積分別為S₁，S₂，且S₁=$\frac{4}{3}$S₂，則tanα的值等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 利用任意角的三角函數的定義求得S₁，S₂的值，再根據S₁=$\frac{4}{3}$S₂，求得tan2α的值，可得tanα的值．

解答 解：由題意可得S₁ =$\frac{1}{2}$•cosα•sinα=$\frac{1}{4}$sin2α，S₂ =$\frac{1}{2}$•[-cos（$α+\frac{π}{4}$）]•sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{4}$sin（2α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{4}$cos2α．
再根據S₁=$\frac{4}{3}$S₂，可得$\frac{1}{4}$•sin2α=$\frac{4}{3}$•（-$\frac{1}{4}$cos2α），∴tan2α=-$\frac{4}{3}$=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$，
求得tanα=2，或tanα=-$\frac{1}{2}$ （不滿足α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），故舍去），
故選：B．

點評 本題主要考查任意角的三角函數的定義，二倍角公式的應用，屬于基礎題．