Question

19．已知函數f（x）=sin²x+acosx+5，a∈R．
（1）當a=1時，求函數f（x）的最大值和最小值以及相應的x的取值；
（2）求函數f（x）在R上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）a=1時，化簡函數f（x），根據二次函數和三角函數的性質即可求出f（x）的最大、最小值與對應的x的值；
（2）化簡函數f（x），討論a的取值范圍，利用二次函數的圖象與性質，即可求出f（x）的最大值．

解答 解：（1）a=1時，函數f（x）=sin²x+cosx+5
=1-cos²x+cosx+5
=-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{25}{4}$，
當cosx=$\frac{1}{2}$，即x=2kπ±$\frac{π}{3}$，k∈Z時，
函數f（x）取得最大值$\frac{25}{4}$，
當cosx=-1，即x=2kπ+π，k∈Z時，
函數f（x）取得最小值4；
（2）函數f（x）=sin²x+acosx+5
=1-cos²x+acosx+5
=-${（cosx-\frac{a}{2}）}^{2}$+6+$\frac{{a}^{2}}{4}$，a∈R；
當a≤-2，即$\frac{a}{2}$≤-1時，f（x）在cosx=-1時取得最大值5-a；
當-2＜a＜2，即-1＜$\frac{a}{2}$＜1時，f（x）在cosx=$\frac{a}{2}$時取得最大值6+$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當a≥2，即$\frac{a}{2}$≥1時，f（x）在cos=1時取得最大值5+a；
∴函數f（x）在R上的最大值為
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5-a，a≤-2}\\{6+\frac{{a}^{2}}{4}，-2＜a＜2}\\{5+a，a≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了二次函數的圖象與性質的應用問題，是綜合性題目．