Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，異面直線BC₁、A₁D所成的角的大小為

 

，異面直線BC₁、AC所成的角的大小為

 

；直線BC₁與平面ABCD、ACC₁A₁所成的角的大小分別為

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：由BC₁∥AD₁，AD₁⊥A₁D，能求出異面直線BC₁、A₁D所成的角的大小；利用AC∥A₁C₁，且A₁C₁=BC₁=A₁B，能求出異面直線BC₁、AC所成的角的大小為60°；由C₁C⊥平面ABCD，知∠C₁BC是直線BC₁與平面ABCD所成的角，由此能求出直線BC₁與平面ABCD所成的角的大小；連接BD交AC于點O，連結C₁O，∠BC₁O是直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角，由此能求出直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角的大小．

解答： 解：∵BC₁∥AD₁，AD₁⊥A₁D，
∴異面直線BC₁、A₁D所成的角的大小為90°；
∵AC∥A₁C₁，且A₁C₁=BC₁=A₁B，
∴異面直線BC₁、AC所成的角的大小為60°；
∵C₁C⊥平面ABCD，
∴∠C₁BC是直線BC₁與平面ABCD所成的角，
∵∠C₁BC=45°，∴直線BC₁與平面ABCD所成的角的大小為45°，
連接BD交AC于點O，連結C₁O，
由已知得BO⊥平面ACC₁A₁，
∴∠BC₁O是直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角，
∵BO=

1

2

BC1，∴sin∠BC1O=

1

2

，
∴∠BC₁O=30°，即直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角為30°．
故答案為：90°；60°；45°，30°．

點評：本題考查空間角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．