Question

已知數列滿足a₁+a₂+a₃=6，a_n+1=-

1

an+1

，則a₁₆+a₁₇+a₁₈=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由a_n+1=-

1

an+1

依次求得a₄=a₁，a₅=a₂，a₆=a₃，…，由此可得數列{a_n}是周期為3的周期數列，則a₁₆+a₁₇+a₁₈可求．

解答： 解：由a_n+1=-

1

an+1

，得a2=-

1

a1+1

，a3=-

1

a2+1

=-

1

- 1 a1+1 +1

=-

a1+1

a1

．
a4=-

1

a3+1

=-

1

- a1+1 a1 +1

=a1，a5=-

1

a4+1

=-

1

a1+1

，a6=-

1

a5+1

=-

1

- 1 a1+1 +1

=-

a1+1

a1

．
…
∴數列{a_n}是周期為3的周期數列，
∴a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₁+a₂+a₃=6．
故答案為；6．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了數列的周期性，解答此題的關鍵在于求出數列的周期，是中檔題．